En dit is natuurlijk geen kop

28 februari 2004
Door Martijn van Calmthout

Het lijken vaak logische spelletjes, maar paradoxen spelen ook een belangrijke rol in het wetenschappelijke denken.

In dit wetenschapskatern hebt u al genoeg te verduren gehad, dus beginnen we dit laatste verhaal meteen met de tweede alinea. Dat scheelt u en ons tijd en moeite.

Waarvoor verder geen dank, maar kan het ook? Kan, zoals de grap waarmee Neerlands Hoop ooit een show begon, een cabaretier met het tweede nummer beginnen, omdat hij haast heeft? Is dat tweede nummer dan niet gewoon het eerste nummer?

Niet altijd. De gehaaste cabaretier zou natuurlijk kunnen beginnen met twee keer hetzelfde nummer. Dan begint hij in elk geval echt met het tweede. Maar het is dan wel weer de vraag hoeveel tijd hij daarmee uiteindelijk wint. Niet zoveel als wanneer hij alleen het tweede nummer doet.

Paradoxen, ogenschijnlijk logische tegenstellingen, zijn volgende week woensdag het onderwerp van een symposium aan de Utrechtse faculteit Wijsbegeerte. Omdat, zegt hoogleraar kunstmatige intelligentie en organisator van de bijeenkomst prof. dr. John-Jules Meyer, veel gebruikers van logica zich niet realiseren dat paradoxen onvermijdelijk onderdeel van het vak zijn.

Meyer: 'Informatici en natuurwetenschappers, niet-experts in het algemeen, hebben erg de neiging te denken dat een logisch geheel per definitie geen paradoxen kan bevatten. Dan mis je wat mij betreft een van de spannendste aspecten van het hele vak.'

Een klassiek voorbeeld is de leugenaarsparadox. Zegt iemand dat hij altijd liegt, is dat dan waar of juist niet? Vanwege zijn eenvoud een van de mooiste paradoxen ooit bedacht, zegt Meyer. 'Maar natuurlijk niet fataal. Tegen de zin 'ik lieg' is taalkundig niks in te brengen. Pas op hoger niveau krijg je een onontwarbare kluwen. Of eigenlijk een oplossing die voortdurend heen en weer flippert tussen waar en niet.'

Meyer is al sinds zijn studententijd een verwoed liefhebber van paradoxen. Woensdag in Utrecht grijpt hij zijn kans en zal hij het gezelschap deskundigen en studenten zijn persoonlijke paradoxentoptien aller tijden presenteren. Daar zijn heel onschuldige bij, maar ook paradoxen die fataal bleken voor het denksysteem waarin ze optraden.

Fataal zoals de paradox van Russell (1872-1970) die begin twintigste eeuw de toenmalige wiskunde met een ernstig innerlijk probleem confronteerde. Zit, vroeg de toen al beroemde Britse wiskundige zich af, de verzameling van alle verzamelingen die niet zichzelf omvatten in zichzelf of juist niet?

Meyer: 'Als je daarover nadenkt, zul je zien dat hij alleen zichzelf omvat als hij er niet in zit, en omgekeerd. Wat logisch onmogelijk is en aangeeft dat de verzamelingenleer een fout moet bevatten.' Russell vertaalde het in de populaire pers naar een dorpskapper. Stel dat de dorpskapper iedereen in het dorp scheert die niet zichzelf scheert, scheert hij dan zichzelf wel of niet?

Dat klinkt als een logisch spelletje, maar bleek begin vorige eeuw bijna dodelijk voor de leer van de verzamelingen, een van de hoekstenen van de moderne wiskunde. Meyer: 'Russells paradox leidde tot intensief onderzoek op dat gebied. Daar is een betere theorie uit voortgekomen. En zoals vaak na het wegwerken van een paradox: een minder liberale, striktere theorie.'

Veel paradoxen zijn geen echte innerlijke tegenstellingen, maar ontstaan op het moment dat een formele wetenschappelijke beschrijving niet meer aansluit bij de intuitie van de gebruikers. Vooral als het oneindige in het spel is, gebeurt dat vaak, zegt Meyer. Een paradox als Hilbert's Hotel, een gedachtenexperiment vernoemd naar de Duitse wiskundige David Hilbert (1862-1943) is een beroemd voorbeeld.

Stel er is aan de rand van het universum een hotel met oneindig veel kamers, dat blijkens een bordje op de deur helemaal vol zit. U biedt aan de balie een godsvermogen voor een bed. Wat doet de receptie? Die vraagt via de intercom gewoon alle gasten een kamer op te schuiven, en zet u in kamer 1. Probleem opgelost. Zelfs als er oneindig veel gasten arriveren, kunnen ze zonder problemen in het volle hotel terecht.

Onzin? Voornaamste eigenschap van oneindig veel kamers is dat er na elk aftelbaar aantal altijd meer kamers zijn. Meyer: 'Formeel klopt het dus, alleen intuitief voelt het niet goed. Daar leren wiskundigen zich overheen zetten.'

Ook in de natuurwetenschappen is wrijving tussen theorie en intuitie de belangrijkste grondstof voor paradoxen. Echte fysische contradicties, zegt de Utrechtse hoogleraar natuurkunde prof.dr. Dennis Dieks, zijn onmogelijk. 'De natuur is een coherent systeem, waarin de empirie beslist wat waar is en wat niet.'

Maar voor onze beschrijvingen van die natuur, geldt dat natuurlijk niet. Dieks zal in dat licht woensdag in Utrecht vooral ingaan op het nut van paradoxen. 'Paradoxen confronteren je op de scherpst denkbare manier met datgene dat je niet helemaal in de vingers hebt. Soms vormen ze het breekijzer naar een heel nieuw inzicht.'

Zo zijn er de paradoxen van de Griekse filosoof Zeno van Elea (490-425 voor Christus), die op logische gronden beweerde dat beweging een illusie van de zintuigen was. Beroemdste parabel in deze is die van Achilles en de schildpad.

Sportheld Achilles geeft de slome schildpad galant een voorsprong van honderd voet. Daarna legt hij in een oogwenk de eerste honderd voet af. In diezelfde oogwenk is de schildpad echter ook iets vooruit gekomen. Die afstand legt Achilles ook snel af, maar de schildpad is al weer iets verder. Conclusie: de held haalt het beest nooit in.

Met dezelfde redenering hield Zeno ook vol dat omhooggeworpen stenen nooit meer de grond kunnen raken, net zo min als pijlen hun doelwit. Dieks: 'Wij denken niet meer zoals Zeno dat onze zintuigen ons bedriegen. Maar je kunt volhouden dat zijn uitdagende redenering geleid heeft tot de hele klassieke mechanica. Wetten als de wet van behoud van energie blijkt nog steeds vol problemen te zitten, als je er Zenoachtige paradoxen bijhaalt.'

Albert Einstein (1879-1955) formuleerde misschien wel de invloedrijkste paradox van de vorige eeuw. Met een gedachtenexperiment wilden hij en zijn collega's Podolski en Rosen in 1935 aantonen dat er iets goed mis was met de toen gloednieuwe quantumtheorie.

Ze wezen op situaties waarin een deeltje zonder tijdverlies voelt wat met een zusterdeeltje gebeurt, hoe ver ze ook uit elkaar zijn. Volgens Einstein kan dat niet, omdat informatie intu‘tief hooguit met de lichtsnelheid reist. Weg met de quantumtheorie, dus.

In de jaren zeventig bleek echter uit laboratoriumproeven dat die spookachtige communicatie wel degelijk optreedt. Wat de quantumtheoretici opvatten als steun in de rug voor hun gereken. Over paradoxen gesproken.

Copyright: de Volkskrant